Родился 28 декабря 1921 в с. Бекетовка ныне Вешкаймского района Ульяновской области в семье служащего. Окончил 7 классов в родном селе. В 1937 окончил Ульяновский педагогический техникум, а в 1938 году — курсы усовершенствования учителей при Ульяновском педагогическом институте. В 1938-39 годах работал учителем в Ново-Погореловской неполной средней школе. По окончании учебного года завербовался на работу на Дальний Восток – в город Хабаровск. В 1939-40 годах был рабочим на заводе «Энергомаш». В Сов. Армии с 1940. В мае 1942 окончил Казанское танковое училище.

После окончания училища был направлен на Калининский фронт. Боевое крещение получил под Москвой. Был тяжело ранен. После госпиталя воевал на Степном, Воронежском и на Первом Украинском фронтах. Орден Красной Звезды получил за то, что первым ворвался в г. Шепетовку. Командир танковой роты 1 танкового батальона , 13-й гвардейской танковой Шепетовской Краснознаменной, орденов Суворова и Кутузова бригады /бывшая 67 тбр/, 4-й гвардейский танковый «Кантемировский» ордена Ленина, Краснознаменный корпус, 60-я армия, 1-й Украинский фронт гвардии лейтенант Кошечкин Б. К. 7 марта 1944 в тяжелых условиях распутицы вел разведку в тылу противника. Выйдя на шоссе Збараж – Тернополь, отрезал путь отхода танкам и автомашинам противника. Вклинившись в колонну противника, уничтожил огнем из танковой пушки, пулемета и гусеницами много живой силы и боевой техники противника. Первым ворвался на танке в Тернополь, поджег 2 фашистских танка, уничтожил противотанковое орудие вместе с расчетом. Из мемуаров Крайнюкова

 «Оружие особого рода»: «…Танковая рота гвардии лейтенанта Бориса Кошечкина, находившаяся в разведке, первой достигла шоссе Збараж — Тернополь и атаковала вражескую колонну. Танкисты Б. К. Кошечкина уничтожили 50 автомашин, 2 бронетранспортера с прицепленными орудиями и много солдат противника. В огневом поединке гвардейцы подбили 6 фашистских танков и 1 сожгли. Когда стемнело, командир роты поставил танки в укрытие, а сам, переодевшись в штатский костюм, пробрался к Тернополю и разведал подступы к городу. Отыскав слабо защищенное место в обороне противника, коммунист Б. К. Кошечкин возглавил ночную атаку танков и одним из первых ворвался в город.»

Звание Героя Советского Союза присвоено 29 мая 1944, № 3676. Участник Парада Победы в июне 1945 г.

В 1948 окончил Военную академию бронетанковых и механизированных войск им. Сталина. Работал старшим преподавателем военного училища. С 1972 полковник Кошечкин Б. К. – в запасе. Живет в Киеве. Работал старшим инструктором организационного управления Украинского кооперативного союза. Награжден орденом Ленина, Александра Невского, тремя орденами Отечественной войны 1 степени, 2 орденами Красной Звезды, медалями, Крестом «За выдающиеся заслуги» DSC (США).